0/0 യുടെ വിലയെന്ത്?

0/0 യുടെ വിലയെന്താണെന്ന് നിങ്ങള്‍ക്കറിയാമോ?
മിക്കവാറും പുസ്തകങ്ങള്‍ ഇങ്ങനെ ഒന്നിനെ ശ്രദ്ധിക്കറേയില്ല. അധ്യാപകരോ? ഇതുപോലുള്ള സാധനങ്ങളെ ക്ലാസ്സിലേക്ക് അടുപ്പിക്കാന്‍ പോലും താല്പര്യപ്പെടാറില്ല. വിദ്യാര്‍ഥികള്‍ക്ക് പരീക്ഷ പേപ്പറില്‍  കാണുമ്പോഴേ  ഇതിനെ പേടിയാണ്!എങ്ങനെയായാലും അല്പം കാര്യങ്ങള്‍ 0/0 നെപറ്റി അറിഞ്ഞിരിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. നിങ്ങള്‍ക്ക് കണക്കിലെ അത്യാവശ്യം കൂട്ടാനും കിഴിക്കാനുമെല്ലാം അറിയാമെന്ന വിശ്വാസത്തില്‍ ആണ് ഇനി തുടരുന്നത്.
ഒരു ചോദ്യം: 10/2 ന്റെ വിലയെന്താണ്? 10/2 = 5 അല്ലേ?
ഇപ്പോള്‍ മുകളിലെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരമായി നമുക്ക് 5 ലഭിച്ചു. അതിനര്‍ത്ഥം 5*2 = 10 എന്നല്ലേ?
ഉദാഹരണത്തിന്  നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ 10 രൂപ ഉണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. അത് നിങ്ങളുടെ രണ്ടു കൂട്ടുകാര്‍ക്ക് തുല്യമായി വീതിച്ചാല്‍ ഓരോരുത്തര്‍ക്കും 5 രൂപ വീതം ലഭിക്കും. മേല്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തില്‍നിന്നും ഒരു കാര്യം വ്യക്തമായി. x/y = z നിലനില്‍ക്കുന്നെങ്കില്‍ z*y =x ആയിരിക്കും. മേല്പറഞ്ഞ തത്വം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇനി നാം തുടരുന്നത് എന്നതിനാല്‍ അത് മനസ്സില്‍ സൂക്ഷിക്കുക. എങ്കില്‍ ചോദ്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം. നിങ്ങളുടെ കയ്യിലുള്ള 10 രൂപ 2 പേര്‍ക് തുല്യമായി വീതിച്ചാല്‍ ഒരാളുടെ കയ്യില്‍ z രൂപ കിട്ടുമെങ്കില്‍ z എത്ര?
z  എന്ന സംഖ്യ  z*2 =10 എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കണം. അതിനായി z നു എല്ലാ സംഖ്യകളും വിലയായി കൊടുത്തു നോക്കുക. അപ്പോള്‍ z = 5 ആകുമ്പോള്‍ മാത്രം ആ സമവാക്യം പാലിക്കുന്നതായി കാണാം.  അതിനര്‍ത്ഥം 10 രൂപ 2 പേര്‍ക്ക് തുല്യമായി വീതിക്കുമ്പോള്‍ ഒരാള്‍ക്ക് കൃത്യം 5 രൂപ ലഭിക്കും.
ഇനി 0/0 ലേക്ക് പോകാം. നേരത്തെ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലതുപോലെ നിങ്ങളുടെ പക്കലുള്ള 0രൂപ 0 പേര്‍ക്ക് തുല്യമായ് വീതിച്ചാല്‍ ഒരാള്‍ക്ക് എന്ത് കിട്ടും? ഈ ചോദ്യത്തിനുത്തരം z ആണെങ്കില്‍ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:  z*0 = 0. മേല്പറഞ്ഞ സമവാക്യം പാലിക്കുന്ന എന്തും ചോദ്യത്തിനുത്തരമാണ്. 'ഒന്നുമില്ലായ്മ' യോടൊപ്പം എന്ത് ഗുണിച്ചാലും 'ഒന്നുമില്ലായ്മ' ലഭിക്കുന്നതിനാല്‍ z എന്നാല്‍ 'ഏതു സംഖ്യയും'(any value) എന്നാണ് ഉത്തരം. കുറച്ചുകൂടി ഗണിതപരമായി പറഞ്ഞാല്‍:
z = -infinity.......................0.......................+infinity
അതുകൊണ്ട്   0/0 = എല്ലാ സംഖ്യകളും(any value)
ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ ഇത് വളരെ ആശ്ച്ചര്യമയിരിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങള്‍ അത് ആര്‍ക്കും വീതിച്ചു നല്‍കുന്നില്ല. അപ്പോള്‍ അവരുടെ കയ്യില്‍ അത് ലക്ഷമോ കോടിയോ എന്തുമാകാം. ഇത് ഒരു ലോട്ടറി ആയിരിക്കുന്നല്ലോ എന്നാണെങ്കില്‍ തെറ്റി. അതിനെപ്പറ്റി കൂടുതല്‍ ചിന്തിക്കുക.
ഇനി ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഈ ഉദാഹരണം മനസ്സിലാകുന്നതിനു Electricity യിലെ Ohm's law എന്ന മഹത്തായ ഒരു നിയമത്തെക്കുറിച്ച് അറിയേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണം വിവരിക്കുന്നതിന് വിക്കിപീഡിയയില്‍നിന്നു ഒരു ചിത്രം ഞാന്‍ മോഷ്ടിച്ചിട്ടുണ്ട്). Ohm's law അറിയില്ലെങ്കില്‍ തീര്‍ച്ചയായും അതിനെപ്പറ്റി ഒരു അവബോധം ഉണ്ടാക്കുക. 

ഓം നിയമപ്രകാരം (ചിത്രത്തില്‍ നോക്കുക) R എന്നത് V/I ആയിരിക്കും.

R=V/I

V=10V ഉം I=2A ഉം  ആണെങ്കില്‍  R= 10/2 = 5 ohm ആയിരിക്കും. ചിത്രത്തില്‍  Voltege V പൂജ്യമാണ് എന്ന് വിചാരിക്കുക. അപ്പോള്‍ current I ഉം പൂജ്യമാകും. അപ്പോള്‍ Resistance R = V/I =0/0 ആണ്. നേരത്തെ നാം സ്ഥാപിച്ച പ്രകാരം 0/0 ന്റെ വില എന്തും അകാം. അതുകൊണ്ട് R ന്റെയും. യഥാര്‍തത്തില്‍ R*0=0 എന്നത് ഇങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം: ഏതു Resistance R നാണു V=0 ആകുമ്പോള്‍ I =0 ആകുന്നത്‌? ഏതു Rനും V=0 ആകുമ്പോള്‍ I=0 ആകും എന്നാണ് ഉത്തരം. വെറുതെ ഒരു resistor പോക്കറ്റില്‍ ഇട്ടു നടക്കുമ്പോള്‍ V ഉം I ഉം പൂജ്യം ആണ്. അതുകൊണ്ട് ഏതു വിലയുള്ള resistor ഉം നമുക്ക് പോക്കറ്റില്‍ ഇട്ടുകൊണ്ട്‌ നടക്കാം. ഇത് ഇങ്ങനെ ആയില്ലെങ്കില്‍ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രത്യാഘാതങ്ങള്‍ വളരെ വലുതാണ്. ഉദാഹരണത്തിനു V ഉം I ഉം പൂജ്യം ആകുമ്പോള്‍ R ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയാണ് എന്ന് വിചാരിക്കുക. ആ സ്ഥിര സംഖ്യ നമുക്ക് 100ohm എന്നെടുക്കാം. അങ്ങനെയെങ്കില്‍ 100ohm വിലയുള്ള resistor മാത്രമേ നമുക്ക് പോക്കറ്റില്‍ ഇട്ടു നടക്കാന്‍ കഴിയൂ! ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ ഇത് തമാശയായി തോന്നുമെങ്കിലും ഇത് ഒരു പ്രപഞ്ച സത്യമാണ്.